Question

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PD=AB，PD⊥底面ABCD，M，N，Q分别在PB，AC，PC上，且

PM

MB

=

AN

NC

=

PQ

QC

（1）求证：平面MNQ∥平面PAD．
（2）求直线PB与平面面MNQ所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）要证平面MNQ∥平面PAD，可由

PM

MB

=

PQ

QC

⇒MQ∥BC⇒MQ∥平面PAD．同理NQ∥平面PAD证出．
（2）由（1），直线PB与平面面MNQ所成角等于直线PB与平面PAD所成角．证出BA⊥平面PAD，∠BPA为直线PB与平面MNQ所成角，

解答：（1）证明：

PM

MB

=

PQ

QC

⇒MQ∥BC，∵BC∥AD，∴MQ∥AD，
MQ?平面PAD，AD?平面PAD，∴MQ∥平面PAD．
同理

AN

NC

=

PQ

QC

⇒NQ∥AP，NQ?平面PAD，AP?平面PAD，∴NQ∥平面PAD．
MQ，NQ?平面MNQ，MQ∩NQ=Q，
∴平面MNQ∥平面PAD．
（2）解：由（1），直线PB与平面面MNQ所成角等于直线PB与平面PAD所成角．

PD⊥平面ABCD AB?平面ABCD

⇒PD⊥AB AD⊥AB ⇒AB⊥平面PAD

⇒∠BPA为直线PB与平面PAD所成角，
设正方形ABCD边长为1，则PD=AB=1，直角三角形△PDA斜边PA=

2

，直角三角形△BPA斜边PB=

3

，
sin∠BPA=

AB

PB

=

1

3

=

3

3

．

点评：本题考查空间直线、平面位置关系的判断，线面角大小求解，考查空间想象能力、推理论证、计算、转化能力．