Question

如图空间四边形ABCD，E、F、G、H分别为AB、AD、CB、CD的中点且AC=BD，AC⊥BD，试判断四边形EFGH的形状，并证明．

Answer 1

考点：平行公理

专题：空间位置关系与距离

分析：由于E、F、G、H分别为AB、AD、CB、CD的中点，利用三角形的中位线定理可证明：四边形EFGH是平行四边形．
由AC=BD，BD⊥AC，可证明：EF=EG，EF⊥EG．因此四边形EFGH是正方形．

解答： 解：四边形EFGH为正方形．下面给出证明：
∵E、F、G、H分别为AB、AD、CB、CD的中点，
∴EF

∥

.

1

2

BD，GH

∥

.

1

2

BD，
∴EF

∥

.

BD．
∴四边形EFGH是平行四边形．
同理可证：EG

∥

.

1

2

AC．
∵AC=BD，BD⊥AC，
∴EF=EG，EF⊥EG．
∴平行四边形EFGH是正方形．

点评：本题考查了三角形的中位线定理、平行四边形的判定、正方形的判定、异面直线所成的角，考查了推理能力，属于中档题．