Question

设函数f（x）=

ax2+1

bx+c

是奇函数（a、b、c∈Z），且f（1）=2，f（2）＜3．
（1）求a、b、c的值；
（2）判断并证明f（x）在[1，+∞]上的单调性．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明,函数解析式的求解及常用方法

专题：常规题型

分析：先由函数f（x）=

ax2+1

bx+c

是奇函数确定整数a，b，c的值，再通过定义法证明函数的单调性．

解答： 解：（1）由题意得，

f(-1)= a+1 -b+c =-2 f(1)= a+1 b+c =2 f(2)= 4a+1 2b+c ＜3 a，b，c∈Z

解得a=1，b=1，c=0．
（2）f（x）在[1，+∞）上单调递增，证明如下：
任取x₁，x₂∈[1，+∞）；且x₁＜x₂，则
f（x₁）-f（x₂）=

x 2 1 +1

x1

-

x 2 2 +1

x2

=

(x1x2-1)(x1-x2)

x1x2

∵1≤x₁＜x₂，
∴x₁x₂-1＞0，x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0
∴f（x）在[1，+∞）上单调递增．

点评：本题考查了利用函数的奇偶性求参数的方法，及函数的单调性的判断与证明．