Question

如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，直线DE交△ABC的外接圆于F，G两点，BG=BD．
（Ⅰ）CF∥AB；
（Ⅱ）CB=CD．

Answer 1

考点：与圆有关的比例线段,弦切角

专题：立体几何

分析：（I）由于D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，利用三角形的中位线定理可得：DE∥BC，可得∠BGD=∠CFE，由BG=BD，可得∠BGD=∠BDG，于是∠BDG=∠CFE．即可证明．
（II）由CF∥AB，BC∥DF，可得四边形BCFD是平行四边形，可得CF=BD．由于D是AB的中点，可得CF=AD．因此四边形ADCF是平行四边形，于是CD=AF，由于CF∥AB，可得AF=BC，即可证明．

解答： 证明：（I）∵D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，
∴DE∥BC，∴∠BGD=∠CFE，
∵BG=BD，∴∠BGD=∠BDG，
∴∠BDG=∠CFE．
∴CF∥AB．
（II）∵CF∥AB，BC∥DF，∴四边形BCFD是平行四边形，
∴CF=BD．
∵D是AB的中点，∴CF=AD．
∴四边形ADCF是平行四边形，
∴CD=AF，
∵CF∥AB，∴AF=BC，
∴CB=CD．

点评：本题考查了三角形的中位线定理、平行四边形的判定与性质、圆的性质、等边对等角、平行线的判定与性质等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力，属于中档题．