Question

已知函数f（x）=

1

3

x3-4x+m在区间（-∞，+∞）上有极大值

28

3

．
（1）求实常数m的值．
（2）求函数f（x）在区间（-∞，+∞）上的极小值．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）由f′（x）=x²-4=（x+2）（x-2），令f′（x）=0，解得x=-2，或x=2，列表讨论，能求出m=4．
（2）由m=4，得f（x）=

1

3

x3-4x+4，由此能求出函数f（x）在区间（-∞，+∞）上的极小值．

解答： 解：（1）∵f（x）=

1

3

x3-4x+m，
∴f′（x）=x²-4=（x+2）（x-2），
令f′（x）=0，解得x=-2，或x=2，
列表讨论，得：

x	（-∞，-2）	-2	（-2，2）	2	（2，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↑	极大值	↓	极小值	↑

∴当x=-2时，f（x）取极大值，
∵函数f（x）=

1

3

x3-4x+m在区间（-∞，+∞）上有极大值

28

3

，
∴f(-2)=

8

3

+8+m=

28

3

，
解得m=4．
（2）由m=4，得f（x）=

1

3

x3-4x+4，
当x=2时，f（x）取极小值f（2）=-

4

3

．

点评：本题考查函数的极大值和极小值的求法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．