【题目】如图3,是一个直角梯形,
,
为
边上一点,
、
相交于
,
,
,
.将△
沿
折起,使平面
⊥平面
,连接
、
,得到如图4所示的四棱锥
.
(Ⅰ)求证:⊥平面
;
(Ⅱ)求直线与面
所成角的余弦值.
【答案】(1)见解析(2)
【解析】【试题分析】(I)在中,求得
,由此证得
,
,根据面面垂直的性质定理得到
平面
,即
,由此可证得
平面
.(2) O为原点,OA、OD、OB所在直线分别为
轴、
轴、
轴建立空间直角坐标系通过计算直线
的方向向量和平面
的法向量计算得线面角的正弦值,再利用三角函数公式转化为余弦值.
【试题解析】
(Ⅰ)在中,
,
,所以
同理,从而
,
又因为,所以
是平行四边形,
因为平面平面
,平面
平面
=AE,
,
所以平面
又平面
,所以
,
所以
(Ⅱ)(方法一)由(Ⅰ)可知,直线OA、OB、OD两两互相垂直,因此,以O为原点,OA、OD、OB所在直线分别为轴、
轴、
轴建立空间直角坐标系
(如图所示)
则,
,
,
设平面的一个法向量为
,则
解得,
,取
所以直线与面
所成角的余弦值为
.
(方法二)由(Ⅰ)可知,四边形的面积
连接,则△
的面积
,
三棱锥的体积
△的面积
设到平面
的距离为
,则
,
直线与面
所成角的正弦值为
,余弦值为
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计,随机抽取M名学生作为样本,得到这M名学生参加社区服务的次数,根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下:
(1)求出表中M,p及图中a的值;
(2)若该校高三学生有240人,试估计高三学生参加社区服务的次数在区间(10,15)内的人数;
(3)在所取样本中,从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人,求至多一人参加社区服务次数在区间[25,30)内的概率.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知函数f(x)=ex-x2+a,x∈R的图象在x=0处的切线方程为y=bx.(e≈2.718 28)
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)当x∈R时,求证:f(x)≥-x2+x;
(3)若f(x)>kx对任意的x∈(0,+∞)恒成立,求实数k的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在四棱锥中,底面
为菱形,
平面
,
,
,
,
分别是
,
的中点.
(1)证明: ;
(2)设为线段
上的动点,若线段
长的最小值为
,求二面角
的余弦值.
【答案】(1)见解析;(2)
【解析】试题分析:(1)证明线线垂直则需证明线面垂直,根据题意易得,然后根据等边三角形的性质可得
,又
,因此
得
平面
,从而得证(2)先找到EH什么时候最短,显然当线段
长的最小时,
,在
中,
,
,
,∴
,由
中,
,
,∴
.然后建立空间直角坐标系,写出两个面法向量再根据向量的夹角公式即可得余弦值
解析:(1)证明:∵四边形为菱形,
,
∴为正三角形.又
为
的中点,∴
.
又,因此
.
∵平面
,
平面
,∴
.
而平面
,
平面
且
,
∴平面
.又
平面
,∴
.
(2)如图, 为
上任意一点,连接
,
.
当线段长的最小时,
,由(1)知
,
∴平面
,
平面
,故
.
在中,
,
,
,
∴,
由中,
,
,∴
.
由(1)知,
,
两两垂直,以
为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,又
,
分别是
,
的中点,
可得,
,
,
,
,
,
,
所以,
.
设平面的一法向量为
,
则因此
,
取,则
,
因为,
,
,所以
平面
,
故为平面
的一法向量.又
,
所以
.
易得二面角为锐角,故所求二面角的余弦值为
.
【题型】解答题
【结束】
20
【题目】【2018湖北七市(州)教研协作体3月高三联考】已知椭圆:
的左顶点为
,上顶点为
,直线
与直线
垂直,垂足为
点,且点
是线段
的中点.
(I)求椭圆的方程;
(II)如图,若直线:
与椭圆
交于
,
两点,点
在椭圆
上,且四边形
为平行四边形,求证:四边形
的面积
为定值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知在极坐标系中曲线的极坐标方程为:
,以极点为坐标原点,以极轴为
轴的正半轴建立直角坐标系,曲线
的参数方程为:
(
为参数),点
.
(1)求出曲线的直角坐标方程和曲线
的普通方程;
(2)设曲线与曲线
相交于
两点,求
的值.
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【题目】(2017吉林延边州模拟)已知在△ABC中,B(-1,0),C(1,0),且|AB|+|AC|=4.
(1)求动点A的轨迹M的方程;
(2)P为轨迹M上的动点,△PBC的外接圆为☉O1,当点P在轨迹M上运动时,求点O1到x轴的距离的最小值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】对于下列四个命题:
p1:x0∈(0,+∞),;
p2:x0∈(0,1),lox0>lo
x0;
p3:x∈(0,+∞),<lo
x;
p4:x∈<lo
x.
其中的真命题是( )
A. p1,p3 B. p1,p4
C. p2,p3 D. p2,p4
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【题目】某市民用水拟实行阶梯水价,每人用水量中不超过立方米的部分按4元/立方米收费,超出
立方米的部分按10元/立方米收费,从该市随机调查了10000位居民,获得了他们某月的用水量数据,整理得到如下频率分布直方图:
(1)如果为整数,那么根据此次调查,为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米,
至少定为多少?
(2)假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替,当时,估计该市居民该月的人均水费.
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