Question

在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，S是该三角形的面积．
（1）若

a

=（sin

B

2

-cos

B

2

，-

1

2

），

b

=（1，sin

B

2

+cos

B

2

），

a

∥

b

，求角B的度数；
（2）若a=8，B=

2π

3

，S=8

3

，求b的值．

Answer 1

分析：（1）根据向量平行的条件，建立关于B的等式，化简得出cosB=

1

2

，从而得到角B的度数．
（2）利用三角形的面积公式，结合题意算出c=4．再由余弦定理加以计算，可得边b的值．

解答：解：（1）角A、B、C的对边分别为a、b、c，
由

a

∥

b

，可得（sin

B

2

-cos

B

2

）（sin

B

2

+cos

B

2

）=-

1

2

，
∴sin²

B

2

-cos²

B

2

=-

1

2

，得cosB=-（sin²

B

2

-cos²

B

2

）=

1

2

．
结合B为三角形的内角，可得B=60°．
（2）由a=8，B=

2π

3

，S=8

3

，
可得

1

2

acsinB=

1

2

×8×c×sin

2π

3

=8

3

，解得c=4．
根据余弦定理，可得
b=

a2+c2-2accosB

=

64+16-2×8×4×(- 1 2 )

=4

7

．

点评：本题给出三角形ABC满足的条件，求边和角的大小．着重考查了向量平行的条件、三角恒等变换公式、余弦定理与三角形的面积公式等知识，属于中档题．