Question

已知直线ax-2by=2（a＞0，b＞0）过圆x²+y²-4x+2y+1=0的圆心，ab的最大值为

1

4

．

Answer 1

分析：把圆的方程化为标准形式，求出圆心，再根据直线过圆心可得a+b=1，再利用基本不等式求得ab的最大值．

解答：解：圆x²+y²-4x+2y+1=0 即 （x-2）²+（y+1）²=4，表示以C（2，-1）为圆心，半径等于2的圆．
由于直线ax-2by=2（a＞0，b＞0）过圆心，故有 2a+2b=2，即 a+b=1．
再由基本不等式可得a+b=1≥2

ab

，∴ab≤

1

4

，当且仅当a=b=

1

2

时，取等号，
故ab的最大值为1，
故答案为 1．

点评：本题主要考查圆的标准方程，基本不等式的应用，属于中档题．