Question

在平面直角坐标系中，椭圆的中心为坐标原点，左焦点为， 为椭圆的上顶点，且.

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）已知直线：与椭圆交于，两点，直线：（）与椭圆交于，两点，且，如图所示.
（ⅰ）证明：;
（ⅱ）求四边形的面积的最大值.

Answer 1

（Ⅰ）解：设椭圆的标准方程为.
因为，，
所以.
所以.                  ………………………………………2分
所以 椭圆的标准方程为.    ………………………………………3分
（Ⅱ）设，，，.
（ⅰ）证明：由消去得：.
则，
                    ………………………………………5分
所以


.
同理 .  ………………………………………7分
因为 ,
所以 .
因为 ，
所以 .                      ………………………………………9分
（ⅱ）解：由题意得四边形是平行四边形，设两平行线间的距离为,则 .
因为 ，
所以 .                    ………………………………………10分
所以
.
（或）
所以 当时， 四边形的面积取得最大值为.
………………………………………13分

略