Question

18．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$满足|$\overrightarrow{a}$|=1，|$\overrightarrow{b}$|=6，且$\overrightarrow{a}$•（$\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}$）=2，则$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$的值为3，$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角是$\frac{π}{3}$．

Answer 1

分析 由已知展开向量等式可得$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$的值；再由数量积公式求得$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角．

解答 解：由|$\overrightarrow{a}$|=1，|$\overrightarrow{b}$|=6，且$\overrightarrow{a}$•（$\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}$）=2，
得$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}-|\overrightarrow{a}{|}^{2}=2$，即$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}-1=2$，∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=3$；
设$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角是θ，则cosθ=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}=\frac{3}{1×6}=\frac{1}{2}$，
∴$θ=\frac{π}{3}$．
故答案为：3；$\frac{π}{3}$．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查由数量积求向量的夹角，是基础的计算题．