Question

9．函数f（x）的定义域为D，若存在闭区间[m，n]⊆D，使得函数f（x）满足以下两个条件：
（1）f（x）在[m，n]上是单调函数；
（2）f（x）在[m，n]上的值域为[2m，2n]，则称区间[m，n]为y=f（x）的“倍值区间”．下列函数中存在“倍值区间”的有①③④（填上所有正确的序号）
①f（x）=x²（x≥0）
②f（x）=e^x（x∈R）
③$f（x）=\frac{4x}{{{x^2}+1}}（{x≥0}）$
④$f（x）={log_2}（{{2^x}-\frac{1}{8}}）$．

Answer 1

分析 根据函数中存在“倍值区间”的两个条件：①f（x）在[m，n]上是单调函数，②$\left\{\begin{array}{l}{f（m）=2m}\\{f（n）=2n}\end{array}\right.或\left\{\begin{array}{l}{f（m）=2n}\\{f（n）=2m}\end{array}\right.$，对四个函数分别研究，从而确定是否存在“倍值区间”．

解答 解：函数中存在“倍值区间”的两个条件：①f（x）在[m，n]上是单调函数，②$\left\{\begin{array}{l}{f（m）=2m}\\{f（n）=2n}\end{array}\right.或\left\{\begin{array}{l}{f（m）=2n}\\{f（n）=2m}\end{array}\right.$，
对于①，f（x）=x²（x≥0）在[0．+∞）上单增调，若存在“倍值区间[m，n]，⇒f（m）=2m，f（n）=2n⇒$\left\{\begin{array}{l}{{m}^{2}=2m}\\{{n}^{2}=2n}\end{array}\right.$⇒$\left\{\begin{array}{l}{m=0}\\{n=2}\end{array}\right.$，∴f（x）=x²（x≥0），存在“倍值区间”[0，2]；
对于②，f（x）=e^x（x∈R）在R上单增调，构建函数g（x）=e^x-2x，∴g′（x）=e^x-2，
∴函数在（-∞，ln2）上单调减，在（ln2，+∞）上单调增，
∴函数在x=ln2处取得极小值，且为最小值．
∵g（ln2）=2-ln2，∴g（x）＞0，∴e^x-2x=0无解，故函数不存在“倍值区间“；
对于③，f（x）=$\frac{4x}{{x}^{2}+1}=\frac{4}{x+\frac{1}{x}}$（x≠0），故f（x）在区间[0，1]上单调递增，在区间[1，+∞）上单调递减，
f（0）=0．f（1）=2∴存在“倍值区间”[0，1]；
对于④，f（x）=log₂（2^x-$\frac{1}{8}$），则函数在定义域内为单调增函数，若存在“倍值区间”[m，n]，
∴m，n是方程log₂（2^x-$\frac{1}{8}$）=2x的两个根，
∴m，n是方程2^2x-2^x+$\frac{1}{8}$=0的两个根，
由于该方程有两个不等的正根，故存在“倍值区间”[m，n]；
综上知，所给函数中存在“倍值区间”的有①③④．
故答案为：①③④．

点评 本题考查新定义，考查学生分析解决问题的能力，涉及知识点较多，计算量大，属于难题．．