Question

12．在△ABC中，|AB|=1，|AC|=$\sqrt{3}$，若|$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$|=|$\overrightarrow{BC}$|，则其形状为③；若?λ∈R使|λ$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$|≤$\sqrt{2}$成立，则$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$的范围是$（-\sqrt{3}，-1]∪[1，\sqrt{3}）$
（①锐角三角形 ②钝角三角形  ③直角三角形，在横线上填上序号）．

Answer 1

分析 （1）利用|$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$|=|$\overrightarrow{BC}$|和$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{BC}$，两边平方得出$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=0，$\overrightarrow{AB}$⊥$\overrightarrow{AC}$即可；
（2）利用|λ$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$|≤$\sqrt{2}$平方后λ²-2λ$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$+1≤0有实数解，△≥0，得出$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$≤-1或$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$≥1；
再由-|$\overrightarrow{AB}$|×|$\overrightarrow{AC}$|＜$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$＜|$\overrightarrow{AB}$|×|$\overrightarrow{AC}$|，即可得出$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$的取值范围．

解答 解：（1）△ABC中，|$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$|=|$\overrightarrow{BC}$|，
∴${\overrightarrow{AB}}^{2}$+${\overrightarrow{AC}}^{2}$+2$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=${\overrightarrow{BC}}^{2}$；
$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{BC}$，
∴${\overrightarrow{AC}}^{2}$+${\overrightarrow{AB}}^{2}$-2$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=${\overrightarrow{BC}}^{2}$；
∴$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=0
∴$\overrightarrow{AB}$⊥$\overrightarrow{AC}$，
∴△ABC是直角三角形；
（2）?λ∈R，使|λ$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$|≤$\sqrt{2}$成立，
∴λ²${\overrightarrow{AB}}^{2}$-2λ$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$+${\overrightarrow{AC}}^{2}$≤2，
即λ²-2λ$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$+1≤0有实数解，
∴△=4${（\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}）}^{2}$-4≥0，
解得$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$≤-1或$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$≥1；
又△ABC中，|AB|=1，|AC|=$\sqrt{3}$，
∴-1×$\sqrt{3}$=-|$\overrightarrow{AB}$|×|$\overrightarrow{AC}$|＜$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$＜|$\overrightarrow{AB}$|×|$\overrightarrow{AC}$|=1×$\sqrt{3}$；
∴$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$的取值范围是（-$\sqrt{3}$，-1]∪[1，$\sqrt{3}$）．
故答案为：③，$（-\sqrt{3}，-1]∪[1，\sqrt{3}）$．

点评 本题考查了平面向量的线性运算与数量积的应用问题，是综合性题目．