Question

2．已知圆C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=cosφ}\\{y=1+sinφ}\end{array}\right.$（φ为参数），直线l平行于x轴，且过点（0，3），以原点O为极点，x铀的非负半轴为极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）求圆C的极坐标方程及直线l的参数方程；
（Ⅱ）过原点O的直线1₁交圆C于O，A，交直线l于B，求|OA|•|OB|的值．

Answer 1

分析 （I）利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$及其ρ²=x²+y²即可得出．
（II）设直线l₁的方程为：my=x，分别与直线y=3及其圆的方程联立解出交点，再利用两点之间的距离公式即可得出．

解答 解：（I）圆C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=cosφ}\\{y=1+sinφ}\end{array}\right.$（φ为参数），化为直角坐标方程：x²+（y-1）²=1，化为x²+y²-2y=0．
可得极坐标方程：ρ²-2ρsinθ=0，即ρ=2sinθ．
由直线l平行于x轴，且过点（0，3），可得参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}{x=t}\\{y=3}\end{array}\right.$，（t∈R）．
（II）设直线l₁的方程为：my=x，
联立$\left\{\begin{array}{l}{my=x}\\{y=3}\end{array}\right.$，解得B（3m，3）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{my=x}\\{{x}^{2}+{y}^{2}-2y=0}\end{array}\right.$，解得A$（\frac{2m}{1+{m}^{2}}，\frac{2}{1+{m}^{2}}）$．
∴|OA|•|OB|=$\sqrt{9{m}^{2}+9}$•$\sqrt{（\frac{2m}{1+{m}^{2}}）^{2}+（\frac{2}{1+{m}^{2}}）^{2}}$
=6．

点评 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、曲线的交点、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．