Question

10．已知f（x）=2x+m，g（x）=x²+mx+m（m，n∈R，m²≠n²），如果对任意的实数x，恒有f（x）≤g（x），那么当不等式k（n+m）≥$\frac{g（n）-g（m）}{n-m}$恒成立时，实数k的最小值为1．

Answer 1

分析 利用对任意的实数x，恒有f（x）≤g（x），求出m的值，不等式k（n+m）≥$\frac{g（n）-g（m）}{n-m}$恒成立，即不等式k≥$\frac{n+4}{n+2}$=1+$\frac{2}{n+2}$（n+2＞0）恒成立，求出右边1+$\frac{2}{n+2}$＞1，即可求出实数k的最小值．

解答 解：∵对任意的实数x，恒有f（x）≤g（x），
∴x²+（m-2）x≥0，
∴m=2，
不等式k（n+m）≥$\frac{g（n）-g（m）}{n-m}$恒成立，即不等式k≥$\frac{n+4}{n+2}$=1+$\frac{2}{n+2}$（n+2＞0）恒成立
∴k≥1．
∴实数k的最小值为1．
故答案为：1．

点评 本题考查恒成立问题，考查分离参数法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．