Question

18．数列{a_n}是公差为正数的等差数列，a₁+a₄=12，a₁•a₄=27，数列{b_n}的前n项和为T_n，且T_n=1-b_n（n∈N^*）
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）记c_n=a_n•b_n，求数列{c_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）设数列{a_n}的公差为d（d＞0），解方程可得a₁=3，a₄=9，运用通项公式可得d=2，即可得到所求数列{a_n}的通项公式；由T_n=1-b_n（n∈N^*），令n=1，n＞1，将n换为n-1，相减可得{b_n}的通项公式；
（2）求得c_n=a_n•b_n=（2n+1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，运用数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，化简即可得到所求和．

解答 解：（1）设数列{a_n}的公差为d（d＞0），
a₁+a₄=12，a₁•a₄=27，解得a₁=3，a₄=9，
可得d=$\frac{{a}_{4}-{a}_{1}}{3}$=$\frac{9-3}{3}$=2，
即有a_n=3+2（n-1）=2n+1；
由T_n=1-b_n（n∈N^*），可得T₁=1-b₁=b₁，
解得b₁=$\frac{1}{2}$；当n＞1时，T_n-1=1-b_n-1，
相减可得，b_n=-b_n+b_n-1，
即为b_n=$\frac{1}{2}$b_n-1，
即有b_n=（$\frac{1}{2}$）ⁿ；
（2）c_n=a_n•b_n=（2n+1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
即有前n项和S_n=3•$\frac{1}{2}$+5•$\frac{1}{4}$+7•$\frac{1}{8}$+…+（2n+1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
$\frac{1}{2}$S_n=3•$\frac{1}{4}$+5•$\frac{1}{8}$+7•$\frac{1}{16}$+…+（2n+1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹，
相减可得，$\frac{1}{2}$S_n=$\frac{3}{2}$+2（$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{8}$+…+（$\frac{1}{2}$）ⁿ）-（2n+1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹
=$\frac{3}{2}$+2•$\frac{\frac{1}{4}（1-\frac{1}{{2}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{2}}$-（2n+1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹，
化简可得S_n=5-$\frac{2n+5}{{2}^{n}}$．

点评 本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的求和方法：错位相减法，考查运算求解能力，属于中档题．