Question

8．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$，满足$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{0}$，|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow{b}$|=3，|$\overrightarrow{c}$|=4，求$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的余弦值以及|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|．

Answer 1

分析 由$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{0}$得-$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$，两边平方求出$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$，代入夹角公式求出夹角余弦，计算（$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$）²，开方得出|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|．

解答 解：∵$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{0}$，∴-$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$，∴$\overrightarrow{c}$²=${\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow{b}}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$，即16=4+9+2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$，∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=$\frac{3}{2}$．
∴cos＜$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$＞=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow{b}|}$=$\frac{1}{4}$．
∵（$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$）²=${\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow{b}}^{2}-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=10，∴|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{10}$．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算，夹角公式，属于基础题．