Question

20．如图，在△ABC中，AB=AC=3，cos∠BAC=$\frac{1}{3}$，$\overrightarrow{DC}$=2$\overrightarrow{BD}$，则$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{BC}$的值为-2．

Answer 1

分析 利用向量的加法的三角形法以及向量的数量积的定义计算即可．

解答 解：∵$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$，
∴$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{BC}$=（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BD}$）•$\overrightarrow{BC}$，
=（$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{BC}$）•$\overrightarrow{BC}$，
=（$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AC}$-$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AB}$）（$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$），
=（$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AC}$）（$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$），
=$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$+${\overrightarrow{AC}}^{2}$-2${\overrightarrow{AB}}^{2}$），
=$\frac{1}{3}$（3×3×$\frac{1}{3}$+3²-2×3²），
=-2，
故答案为：-2．

点评 本题主要考察了向量的数量积的定义的应用，解题中要注意向量加法、减法的三角形法则及向量共线定理的应用