Question

11．等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₂=4，S₅=30，数列{b_n}满足b₁+2b₂+…+nb_n=a_n
（Ⅰ）求a_n；
（Ⅱ）设c_n=b_n•b_n+1，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （I）利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出；
（II）利用递推关系与“裂项求和”即可得出．

解答 解：（I）设等差数列{a_n}的公差为d，
∵a₂=4，S₅=30，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+d=4}\\{5{a}_{1}+\frac{5×4}{2}d=30}\end{array}\right.$，解得a₁=d=2．
∴a_n=2+2（n-1）=2n．
（II）∵b₁+2b₂+…+nb_n=a_n，
∴当n=1时，b₁=a₁=2；
当n≥2时，b₁+2b₂+…+（n-1）b_n-1=a_n-1，
∴nb_n=a_n-a_n-1=2，
解得b_n=$\frac{2}{n}$．
∴c_n=b_n•b_n+1=$\frac{4}{n（n+1）}$=4$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$．
∴数列{c_n}的前n项和T_n=4$[（1-\frac{1}{2}）$+$（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）]$
=4$（1-\frac{1}{n+1}）$
=$\frac{4n}{n+1}$．

点评 本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、递推关系与“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．