Question

6．记数列{a_n}的前n项和为S_n，若S_n+（1+$\frac{2}{n}$）a_n=4，则a_n=（　　）

• A． $\frac{n}{{2}^{n}}$
• B． n•2^n-1
• C． n•2ⁿ
• D． $\frac{n}{{2}^{n-1}}$

Answer 1

分析 由已知条件推导出$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}=\frac{n}{2（n-1）}$，由此利用累乘法能求出a_n．

解答 解：∵数列{a_n}的前n项和为S_n，S_n+（1+$\frac{2}{n}$）a_n=4，①，
当n≥2时，${S}_{n-1}+\frac{（n+1）{a}_{n-1}}{n-1}$=4，②
①-②，并整理得：$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}=\frac{n}{2（n-1）}$，
∴$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}$=$\frac{n-1}{2（n-2）}$，$\frac{{a}_{n-2}}{{a}_{n-3}}=\frac{n-2}{2（n-3）}$，…，$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}=\frac{2}{2×1}$，
∴${a}_{n}=\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}×\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}×…×\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}×{a}_{1}$
=$\frac{n}{2（n-2）}×\frac{n-1}{2（n-2）}×…×\frac{2}{2×1}×1$
=$\frac{n}{{2}^{n-1}}$，
当n=1时，适合此式，∴${a}_{n}=\frac{n}{{2}^{n-1}}$．
故选：D．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意累乘法的合理运用．