Question

16．设函数f（x）=|x-a|．
（1）当a=2时，求不等式f（x）≤4+|2x-1|的解集；
（2）若A={x|x²-4x≤0}，关于x的不等式f（x）≤a²-2的解集为B，且B⊆A，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）方法一：将a=2代入f（x），问题转化为解不等式|x-2|-|2x-1|-4≤0即可；方法二：令g（x）=|x-2|-|2x-1|-4，结合函数的单调性求出不等式的解集即可；
（2）通过讨论a的范围结合集合的包含关系，从而求出a的范围即可．

解答 解：（1）解法1：a=2时，f（x）≤4+|2x-1|即为|x-2|-|2x-1|-4≤0可化为：
$\left\{\begin{array}{l}x＜\frac{1}{2}\\ x-3≤0\end{array}\right.或\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{2}≤x≤2\\-3x-1≤0\end{array}\right.或\left\{\begin{array}{l}x＞2\\-x-5≤0\end{array}\right.$…（3分）
解得$x＜\frac{1}{2}或\frac{1}{2}≤x≤2或x＞2$…（4分）
所以不等式f（x）≤4+|2x-1|的解集为R．…5 分
解法2：令g（x）=|x-2|-|2x-1|-4，
则 $g（x）=\left\{\begin{array}{l}x-3，x＜\frac{1}{2}\\-3x-1，\frac{1}{2}≤x≤2\\-x-5，x＞2\end{array}\right.$…（3分），
$当x＜\frac{1}{2}时，g（x）单调递增，当x≥\frac{1}{2}时，g（x）单调递减$，
所以$g（x）≤g（\frac{1}{2}）=-2＜0$…（4分）
所以不等式f（x）≤4+|2x-1|的解集为R．…（5分）
（2）A={x|x（x-4）≤0}={x|0≤x≤4}…（6分）
①$-\sqrt{2}＜a＜\sqrt{2}$时a²-2＜0，这时f（x）≤a²-2的解集为φ，
满足B⊆A，所以$-\sqrt{2}＜a＜\sqrt{2}$…（7分）
②当$a≤-\sqrt{2}或a≥\sqrt{2}$时a²-2≥0，B≠φ
这时f（x）≤a²-2即|x-a|≤a²-2可化为2+a-a²≤x≤a²+a-2
所以B={x|2+a-a²≤x≤a²+a-2}…（8分）
因为B⊆A
所以$\left\{\begin{array}{l}{a^2}+a-2≤4\\ 2+a-{a^2}≥0\end{array}\right.$即$\left\{\begin{array}{l}{a^2}+a-6≤0\\{a^2}-a-2≤0\end{array}\right.$即$\left\{\begin{array}{l}（{a-2}）（{a+3}）≤0\\（{a-2}）（{a+1}）≤0\end{array}\right.$
所以-1≤a≤2…（9分）
又因为$a≤-\sqrt{2}或a≥\sqrt{2}$所以$\sqrt{2}≤a≤2$
综合①②得实数a的取值范围为$（-\sqrt{2}，2]$…（10分）

点评 本题考察了解绝对值不等式问题，考察集合问题，分类讨论思想，是一道中档题．