Question

1．设△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知sin（A-$\frac{π}{6}$）=cosA
（1）求角A的大小；
（2）若a=1，b+c=2，求△ABC的面积S．

Answer 1

分析 （1）由已知利用两角差的正弦公式展开可求tanA，结合0＜A＜π，可求A；
（2）由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA，结合已知可得bc的值，然后利用三角形面积公式即可得解．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）由已知有sinA•cos$\frac{π}{6}$-cosA•sin$\frac{π}{6}$=cosA，…（2分）
故sinA=$\sqrt{3}$cosA，tanA=$\sqrt{3}$．…（4分）
又0＜A＜π，
所以A=$\frac{π}{3}$．…（5分）
（2）∵a=1，b+c=2，由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA得，1=b²+c²-bc，…（8分）
所以1=（b+c）²-3bc，即解得：bc=1，…（10分）
∴${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}bcsinA=\frac{1}{2}×1×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$．…（12分）

点评 本小题主要考查两角和与差的三角函数公式、正弦定理、余弦定理，三角形面积公式等基础知识的应用，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．