Question

3．在数列{b_n}中，a_n+3=a_n+3（n∈N₊），a₁=1，S_n是其前n项和．记b_n=$\root{n+a}{{c}^{{S}_{n}+a}}$（a≥0，c＞0，c≠1）．
（1）设数列{a_3n-2}（n∈N₊）的前n项和T_n，求T_n表达式；
（2）若S₁₅=15a₈=120，证明：{a_n}以为等差数列：
（3）若数列{b_n}为等比数列，求数列{a_n}的通项公式，并求此时实数a的值．

Answer 1

分析 （1）由于a_n+3=a_n+3（n∈N₊），a₁=1，可得a_3（n+1）-2-a_3n-2=3，利用等差数列的定义及其前n项和公式即可得出．
（2）a₁+a₄+a₇+a₁₀+a₁₃=5a₇，a₂+a₅+a₈+a₁₁+a₁₄=5a₈，a₃+a₆+a₉+a₁₂+a₁₅=5a₉，可得S₁₅=15a₈=5（a₇+a₈+a₉）=120，a₈，
可得a_3n=3n，a_3n-1=3n-1，a_3n-2=3n-2，a_3n-3=3n-3．a_3n-a_3n-1=a_3n-1-a_3n-2=a_3n-2-a_3n-3=1，即可证明．
（3）b_n=$\root{n+a}{{c}^{{S}_{n}+a}}$=${c}^{\frac{{S}_{n}+a}{n+a}}$，数列{b_n}为等比数列，即$\frac{{b}_{n+1}}{{b}_{n}}$=${c}^{\frac{{S}_{n+1}+a}{n+1+a}-\frac{{S}_{n}+a}{n+a}}$为定值，因此数列$\{\frac{{S}_{n}+a}{n+a}\}$为等差数列．化简整理即可得出：a_n+1-a_n=2λ对于n≥2恒成立，又a_n+3-a_n=3×2λ=3，解得λ．进而得出a．

解答 （1）解：∵a_n+3=a_n+3（n∈N₊），a₁=1，∴a_3（n+1）-2-a_3n-2=3，
∴数列{a_3n-2}（n∈N₊）是等差数列，首项为1，公差为3．
其前n项和T_n=n+$\frac{3}{2}n（n-1）$=$\frac{3}{2}{n}^{2}$-$\frac{1}{2}$n．
（2）证明：a₁+a₄+a₇+a₁₀+a₁₃=5a₇，a₂+a₅+a₈+a₁₁+a₁₄=5a₈，a₃+a₆+a₉+a₁₂+a₁₅=5a₉，
∴S₁₅=15a₈=5（a₇+a₈+a₉）=120，
∴a₈=8，∴a₂=a₈-6=2．又a₇=a₁+6=7，
∴a₉=9，a₃=a₉-6=3．
∴a_3n=3+3（n-1）=3n，a_3n-1=2+3（n-1）=3n-1，a_3n-2=1+3（n-1）=3n-2，a_3n-3=3+3（n-2）=3n-3．
∴a_3n-a_3n-1=a_3n-1-a_3n-2=a_3n-2-a_3n-3=1，即a_n+1-a_n=1，对n∈N^*恒成立，
∴数列{a_n}是以1为首项与公差的等差数列．
（3）解：b_n=$\root{n+a}{{c}^{{S}_{n}+a}}$=${c}^{\frac{{S}_{n}+a}{n+a}}$，数列{b_n}为等比数列，即$\frac{{b}_{n+1}}{{b}_{n}}$=${c}^{\frac{{S}_{n+1}+a}{n+1+a}-\frac{{S}_{n}+a}{n+a}}$为定值，
∴数列$\{\frac{{S}_{n}+a}{n+a}\}$为等差数列．
$\frac{{S}_{n+1}+a}{n+1+a}$-$\frac{{S}_{n}+a}{n+a}$=$\frac{（n+a）（{S}_{n+1}+a）-（n+1+a）（{S}_{n}+a）}{（n+1+a）（n+a）}$=$\frac{（n+a）{a}_{n+1}-{S}_{n}-a}{（n+1+a）（n+a）}$，
设$\frac{（n+a）{a}_{n+1}-{S}_{n}-a}{（n+1+a）（n+a）}$=λ，化简得：（n+a）a_n+1-S_n-a=λ[n²+（2a+1）n+a（a+1）]，
则n≥2时，（n-1+a）a_n-S_n-1-a=λ[（n-1）²+（2a+1）（n-1）+a（a+1）]．
可得：（n+a）（a_n+1-a_n）=λ（2n+2a），对于n≥2恒成立，
∴a_n+1-a_n=2λ对于n≥2恒成立，又a_n+3-a_n=3×2λ=3，解得λ=$\frac{1}{2}$．a₂=a₄-4λ=2，∴a₂-a₁=1=2λ．
∴数列{a_n}是首项与公差都为1的等差数列，
∴a_n=n，S_n=$\frac{n（n+1）}{2}$，又（n+a）a_n+1-S_n-a=λ[n²+（2a+1）n+a（a+1）]，代入化简可得a²+a=0，
又a≥0，解得a=0．

点评 本题考查了递推关系的应用、等差数列的通项公式及其前n项和公式、恒成立问题等价转化方法，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．