Question

5．设a，b都是正数，且满足$\frac{1}{a}$+$\frac{4}{b}$=${∫}_{0}^{\frac{π}{2}}$cosxdx，则使a+b＞c恒成立的实数c的取值范围是（-∞，9）．

Answer 1

分析 先根据定积分的计算得到$\frac{1}{a}$+$\frac{4}{b}$=1，由题知利用“1”的代换，以及基本不等式求解即可得到答案．

解答 解：∵${∫}_{0}^{\frac{π}{2}}$cosxdx=sinx|${\;}_{0}^{\frac{π}{2}}$=1，
∴$\frac{1}{a}$+$\frac{4}{b}$=1，
∵a，b均为正数，
∴a+b=（a+b）（$\frac{1}{a}$+$\frac{4}{b}$）=5+$\frac{b}{a}$+$\frac{4a}{b}$≥5+2$\sqrt{\frac{b}{a}•\frac{4a}{b}}$=9．当且仅当a=3，b=6时取等号．
∴a+b＞c恒成立的实数c的取值范围是c＜9．
故答案为：（-∞，9）．

点评 本题考查定积分的计算，基本不等式的应用，解题时要认真审题，仔细解答．