Question

15．已知数列{a_n}为等差数列，数列{b_n}满足b_n=a_n+n，若b₂，b₅，b₁₁成等比数列，且b₃=a₆．
（1）求a_n，b_n；
（2）求数列{$\frac{1}{a_nb_n}$}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；
（2）$\frac{1}{a_nb_n}$=$\frac{1}{（n+2）（2n+2）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）$，利用“裂项求和”即可得出．

解答 解：（1）设数列{a_n}的公差为d，则a_n=a₁+（n-1）d，b_n=a₁+（n-1）d+n，
∵b₂，b₅，b₁₁成等比数列，且b₃=a₆．
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+2d+3={a}_{1}+5d}\\{（{a}_{1}+4d+5）^{2}=（{a}_{1}+d+2）（{a}_{1}+10d+11）}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=3}\\{d=1}\end{array}\right.$．
于是a_n=n+2，b_n=2n+2．
（2）$\frac{1}{a_nb_n}$=$\frac{1}{（n+2）（2n+2）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）$．
∴S_n=$\frac{1}{2}[（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+$（\frac{1}{3}-\frac{1}{4}）$+…+$（\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）]$
=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2}-\frac{1}{n+2}）$
=$\frac{n}{4n+8}$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．