Question

20．为考查某种疫苗预防疾病的效果，进行动物实验，得到统计数据如下：

	未发病	发病	合计
未注射疫苗	20	x	A
注射疫苗	30	y	B
合计	50	50	100

现从所有试验动物中任取一只，取到“注射疫苗”动物的概率为$\frac{2}{5}$．
（Ⅰ）求2×2列联表中的数据的值；
（Ⅱ）绘制发病率的条形统计图，并判断疫苗是否有效？
（Ⅲ）能够有多大把握认为疫苗有效？
附：${Χ^2}=\frac{{n{{（ad-bc）}^2}}}{（a+b）（a+c）（c+d）（b+d）}$

P（X2≤K0）	0.05	0.01	0.005	0.001
K0	3.841	6.635	7.879	10.828

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知得$P（A）=\frac{y+30}{100}=\frac{2}{5}$，所以y=10，B=40，x=40，A=60，即可求2×2列联表中的数据的值；
（Ⅱ）未注射疫苗发病率为$\frac{40}{60}=\frac{2}{3}$，注射疫苗发病率为$\frac{10}{40}=\frac{1}{4}$，即可绘制发病率的条形统计图，并判断疫苗是否有效？
（Ⅲ）求出X²，与临界值比较，即可得出结论．

解答 解：（Ⅰ）设“从所有试验动物中任取一只，取到“注射疫苗”动物”为事件A，
由已知得$P（A）=\frac{y+30}{100}=\frac{2}{5}$，所以y=10，B=40，x=40，A=60． …（5分）
（Ⅱ）未注射疫苗发病率为$\frac{40}{60}=\frac{2}{3}$，注射疫苗发病率为$\frac{10}{40}=\frac{1}{4}$．
发病率的条形统计图如图所示，由图可以看出疫苗影响到发病率． …（10分）
（Ⅲ）${Χ^2}=\frac{{100{{（20×10-30×40）}^2}}}{50×50×40×60}$…（11分）
=$\frac{1000000}{50×20×60}=\frac{50}{3}≈16.67＞10.828$．
所以有99.9%的把握认为疫苗有效．…（12分）

点评 本题考查独立性检验的应用，统计，概率，根据统计数据做出相应评价．