Question

10．已知三角形ABC中，三边长分别是a，b，c，面积S=a²-（b-c）²，b+c=8，则S的最大值是$\frac{64}{17}$．

Answer 1

分析 利用三角形面积公式变形出S，利用余弦定理列出关系式，代入已知等式计算即可求出S的最大值．

解答 解：∵a²=b²+c²-2bccosA，即a²-b²-c²=-2bccosA，S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA，
∴分别代入已知等式得：$\frac{1}{2}$bcsinA=2bc-2bccosA，即sinA=4-4cosA，
代入sin²A+cos²A=1得：cosA=$\frac{15}{17}$，
∴sinA=$\frac{8}{17}$，
∵b+c=8，
∴c=8-b，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{4}{17}$bc=$\frac{4}{17}$b（8-b）≤$\frac{4}{17}$•（$\frac{b+8-b}{2}$）²=$\frac{64}{17}$，当且仅当b=8-b，即b=4时取等号，
则△ABC面积S的最大值为$\frac{64}{17}$．
故答案为：$\frac{64}{17}$．

点评 此题考查了余弦定理，三角形的面积公式，以及同角三角函数间基本关系的运用，熟练掌握余弦定理是解本题的关键，属于中档题．