Question

18．设函数f（x）是定义在R上的周期为2的函数，且对任意的实数x，恒有f（x）-f（-x）=0，当x∈[-1，0]时，f（x）=x²，若g（x）=f（x）-log_ax在x∈（0，+∞）上有且仅有三个零点，则a的取值范围为（　　）

• A． [3，5]
• B． [4，6]
• C． （3，5）
• D． （4，6）

Answer 1

分析 根据函数的周期和奇偶性作出f（x）和y=log_ax在（0，+∞）上的图象，根据交点个数列出不等式解出a．

解答 解：∵f（x））-f（-x）=0，∴f（x）=f（-x），∴f（x）是偶函数，根据函数的周期和奇偶性作出f（x）的图象如图所示：

∵g（x）=f（x）-log_ax在x∈（0，+∞）上有且仅有三个零点，
∴y=f（x）和y=log_ax的图象在（0，+∞）上只有三个交点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{a}3＜1}\\{lo{g}_{a}5＞1}\\{a＞1}\end{array}\right.$，解得3＜a＜5．
故选C．

点评 本题考查了零点个数的判断，作出f（x）的函数图象是解题关键．