Question

13．已知某几何体直观图和三视图如图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，
（Ⅰ）求证：BN⊥平面C₁B₁N；
（Ⅱ）设θ为直线C₁N与平面CNB₁所成的角，求sinθ的值；
（Ⅲ）设M为AB中点，在BC边上找一点P，使MP∥平面CNB₁并求$\frac{BP}{PC}$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）以BA，BB₁，BC分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能证明BN⊥平面C₁B₁N．
（Ⅱ）求出平面NCB₁的一个法向量，利用向量法能求出sinθ．
（Ⅲ）设P（0，0，a）为BC上一点，利用向是琺能求出当PB=$\frac{1}{2}$时，MP∥平面CNB₁及此时$\frac{BP}{PC}$的值．

解答 证明：（Ⅰ）∵该几何体的正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，
∴BA，BC，BB₁两两垂直．…（2分）
以BA，BB₁，BC分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则N（2，2，0），B₁（0，4，0），C₁（0，4，2），C（0，0，2），
∵$\overrightarrow{BN}•\overrightarrow{{B}_{1}N}$=4-4+0=0，$\overrightarrow{BN}•\overrightarrow{{B}_{1}{N}_{1}}$=0，
∴BN⊥NB₁，BN⊥B₁C₁且NB₁，
∵B₁C₁相交于B₁，∴BN⊥平面C₁B₁N．（4分）
解：（Ⅱ）设$\overrightarrow{{n}_{2}}$=（x，y，z）为平面NCB₁的一个法向量，
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{{n}_{2}}•\overrightarrow{CN}=2x+2y-2z=0}\\{\overrightarrow{{n}_{2}}•\overrightarrow{N{B}_{1}}=-2x+2y=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{{n}_{2}}$=（1，1，2），
∵$\overrightarrow{{C}_{1}N}$=（2，-2，-2），
∴sinθ=$\frac{|\overrightarrow{{C}_{1}N}•\overrightarrow{{n}_{2}}|}{|\overrightarrow{{C}_{1}N}|•|\overrightarrow{{n}_{2}}|}$=$\frac{|2-2-4|}{\sqrt{6}•\sqrt{12}}$=$\frac{\sqrt{2}}{3}$．
（Ⅲ）∵M（1，0，0）．设P（0，0，a）为BC上一点，
则$\overrightarrow{MP}$=（-1，0，a），
∵MP∥平面CNB₁，
∴$\overrightarrow{MP}⊥\overrightarrow{{n}_{2}}$，$\overrightarrow{MP}•\overrightarrow{{n}_{2}}$=-1+2a=0，解得a=$\frac{1}{2}$，
又PM?平面CNB₁，∴MP∥平面CNB₁，
∴当PB=$\frac{1}{2}$时，MP∥平面CNB₁，∴$\frac{BP}{PC}$=$\frac{1}{3}$． …（12分）

点评 本题考查线面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查满足线面平行的点是否存在的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．