Question

4．已知数列{a_n}的首项a₁=1，且满足（a_n+1-1）a_n+a_n+1=0（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设c_n=$\frac{3^n}{a_n}$，求数列{c_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）由满足（a_n+1-1）a_n+a_n+1=0（n∈N^*）．整理得$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=1，利用等差数列的通项公式即可得出．
（2）由（1）知：c_n=$\frac{3^n}{a_n}$=n•3ⁿ，再利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（1）由满足（a_n+1-1）a_n+a_n+1=0（n∈N^*）．
整理得$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=1，
∴数列$\{\frac{1}{{a}_{n}}\}$是等差数列，首项与公差都为1．
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=1+（n-1）=n，
∴a_n=$\frac{1}{n}$．
（2）由（1）知：c_n=$\frac{3^n}{a_n}$=n•3ⁿ，
∴数列{c_n}的前n项和S_n=3+2×3²+3×3³+…+n•3ⁿ，
∴3S_n=3²+2×3³+…+（n-1）•3ⁿ+n•3ⁿ⁺¹，
∴-2S_n=3+3²+…+3ⁿ-n•3ⁿ⁺¹=$\frac{3（{3}^{n}-1）}{3-1}$-n•3ⁿ⁺¹=$\frac{1-2n}{2}$×3ⁿ⁺¹-$\frac{3}{2}$，
∴S_n=$\frac{2n-1}{4}$×3ⁿ⁺¹+$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”，考查了变形推理能力与计算能力，属于中档题．