Question

14．已知{b_n}为单调递增的等差数列，b₃+b₈=26，b₅b₆=168，设数列{a_n}满足$2{a_1}+{2^2}{a_2}+{2^3}{a_3}+…+{2^n}{a_n}={2^{b_n}}$
（1）求数列{b_n}的通项；
（2）求数列{a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）利用等差数列的通项公式即可得出；
（2）利用递推关系与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（1）设{b_n}的公差为d，
∵{b_n}为单调递增的等差数列，∴d＞0．
由$\left\{\begin{array}{l}{b_3}+{b_8}=26\\{b_5}{b_6}=168\end{array}\right.$，
得$\left\{\begin{array}{l}2{b_1}+9d=26\\（{{b_1}+4d}）（{{b_1}+5d}）=168\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b_1}=4\\ d=2\end{array}\right.$，
∴b_n=b₁+（n-1）d=4+2（n-1）=2n+2，
∴b_n=2n+2．
（2）${2^{b_n}}={2^{2n+2}}={4^{n+1}}$，
由$2{a_1}+{2^2}{a_2}+{2^3}{a_3}+…+{2^{n-1}}{a_{n-1}}+{2^n}{a_n}={2^{b_n}}…$①
得$2{a_1}+{2^2}{a_2}+{2^3}{a_3}+…+{2^{n-1}}{a_{n-1}}={2^{{b_{n-1}}}}…$②
①-②得${2^n}{a_n}={4^{n+1}}-{4^n}=3×{4^n}$，n≥2，
∴${a_n}=3×{2^n}$，n≥2．
又∵a₁=$\frac{1}{2}×$${2}^{{b}_{1}}$=8不符合上式，
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{8，n=1}\\{3×{2}^{n}，n≥2}\end{array}\right.$，
当n≥2时，${S_n}=8+3×（{{2^2}+{2^3}+…+{2^n}}）=8+3×\frac{{{2^2}（{1-{2^{n-1}}}）}}{1-2}=3×{2^{n+1}}-4$，
∵S₁=8符合上式，
∴${S_n}=3×{2^{n+1}}-4$，n∈N^*．

点评 本题考查了递推关系、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．