Question

1．正项数列{a_n}满足a_n²=2S_n-a_n，S_n为{a_n}的前n项和．
（1）求a_n；
（2）若b_n=$\frac{1}{{S}_{n}}$，数列{b_n}前n项和T_n，若x∈[-1，1]，不等式m²-2mx+2＞T_n对n∈N^*恒成立，求m的范围．

Answer 1

分析 （1）由已知推导出${{a}_{n}}^{2}-{{a}_{n-1}}^{2}$=a_n+a_n-1，从而得到数列{a_n}是首项为1，公差为1的等差数列，由此能求出a_n=n，（n∈N^*）．
（2）由b_n=$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{2}{n（n+1）}$=2（$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$），求出数列{b_n}前n项和T_n=$\frac{2n}{n+1}$，从而1≤T_n＜2，由此能求出x∈[-1，1]，不等式m²-2mx+2＞T_n对n∈N^*恒成立时m的范围．

解答 解：（1）∵正项数列{a_n}满足a_n²=2S_n-a_n，①
∴n≥2时，${{a}_{n-1}}^{2}=2{{S}_{n-1}-{a}_{n-1}}^{\;}$，②
①-②，得${{a}_{n}}^{2}-{{a}_{n-1}}^{2}$=（2S_n-a_n）-（2S_n-1-a_n-1），
∴${{a}_{n}}^{2}-{{a}_{n-1}}^{2}$=a_n+a_n-1，
∵a_n+a_n-1＞0，∴a_n-a_n-1=1，n≥2，
由已知得当n=1时，${{a}_{1}}^{2}=2{S}_{1}-{a}_{1}$，∴a₁=1，
∴数列{a_n}是首项为1，公差为1的等差数列，
∴a_n=n，（n∈N^*）．
（2）∵数列{a_n}是首项为1，公差为1的等差数列，∴S_n=n+$\frac{n（n-1）}{2}$=$\frac{n（n+1）}{2}$，
∴b_n=$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{2}{n（n+1）}$=2（$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$），
∴数列{b_n}前n项和：
T_n=2（1-$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$）=2（1-$\frac{1}{n+1}$）=$\frac{2n}{n+1}$，
∴1≤T_n＜2，
∵x∈[-1，1]，不等式m²-2mx+2＞T_n对n∈N^*恒成立，
∴x∈[-1，1]，不等式m²-2mx+2≥2对n∈N^*恒成立，
∴x∈[-1，1]，不等式m²-2mx≥0对n∈N^*恒成立，
∴m²≥2mx，
当m≥0时，m≥2x，由x∈[-1，1]，解得0≤m≤2，
当m＜0时，m≤2x，由x∈[-1，1]，解得m≤-2．
∴m的范围是（-∞，-2]∪[0，2]．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．