Question

6．设a₁，a₂，…a_n，…为一实数数列，且对所有的正整数n满足a_n+1=$\frac{n（n+1）}{2}$-a_n
请问下列哪些选项是正确的？
（1）如果a₁=1，则a₂=1
（2）如果a₁是正整数，则此数列的每一项都是整数
（3）如果a₁是无理数，则此数列的每一项都是无理数
（4）a₂≤a₄≤…≤a_2n≤…（n为正整数）
（5）如果a_k是奇数，则a_k+2，a_k+4，…，a_k+2n，…都是奇数（n为正整数）

Answer 1

分析 利用递推公式对五个逐个进行判断，由此能求出结果．

解答 解：由a₁，a₂，…a_n，…为一实数数列，且对所有的正整数n满足a_n+1=$\frac{n（n+1）}{2}$-a_n，知：
在（1）中：若a₁=1，则${a}_{2}=\frac{1×2}{2}-1$=0，故（1）错误，
在（2）中：若a₁是整数，且对所有正整数n，$\frac{n（n+1）}{2}$必为整数，
∴${a}_{2}=\frac{n（n+1）}{2}-{a}_{1}$为整数，${a}_{n+1}=\frac{n（n+1）}{2}-{a}_{n}$为整数，故（2）正确；
在（3）中：若a₁是无理数，则${a}_{2}=\frac{1×2}{2}-{a}_{1}=1-{a}_{1}$是无理数，
∴${a}_{n+1}=\frac{n（n+1）}{2}-{a}_{n}$是无理数，故（3）正确；
在（4）中：${a}_{n+2}=\frac{（n+1）（n+2）}{2}-{a}_{n+1}$=$\frac{（n+1）（n+2）}{2}-$（$\frac{n（n+1）}{2}-{a}_{n}$）=a_n+（n+1），
∴a_n+2＞a_n，∴a₂≤a₄≤…≤a_2n≤…（n为正整数），故（4）正确；
在（5）中：∵a_k+2=a_k+（k+1），∴a₃=a₁+2，a₅=a₃+4，a₇=a₅+6，…
且a₄=a₂+3，a₆=a₄+5，a₈=a₆+7，…
∴若a₁是奇数，则a₃，a₅，…都是奇数，∴a_2n+1都是奇数，
若a₂是奇数，则a₄是偶数，a₆是奇数，…，∴a_2n+2奇偶相间，故（5）错误．
综上：（1）、（5）错误，（2）、（3）、（4）正确．

点评 本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意递推公式的合理运用．