Question

14．设数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1且满足S_n+1-2S_n=n+1（n∈N^*）．
（1）求a_n；
（2）求数列{na_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用递推关系与递推数列的通项公式即可得出；
（2）利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（1）∵S_n+1-2S_n=n+1（n∈N^*），
∴a_n+1=S_n+n+1，
当n≥2时，a_n=S_n-1+n，
∴a_n+1-a_n=a_n+1，
化为：a_n+1+1=2（a_n+1），
∴数列{a_n+1}是等比数列，首项为2，公比为2．
∴a_n+1=2ⁿ，
∴a_n=2ⁿ-1．
（2）na_n=n•2ⁿ-n．
设数列{n•2ⁿ}的前n项和为A_n．
则A_n=2+2×2²+3×2³+…+n•2ⁿ，
2A_n=2²+2×2³+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹，
∴-A_n=2+2²++…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=$\frac{2（{2}^{n}-1）}{2-1}$-n•2ⁿ⁺¹=（1-n）•2ⁿ⁺¹-2，
∴A_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．
∴数列{na_n}的前n项和T_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2-$\frac{n（n+1）}{2}$．

点评 本题考查了“错位相减法”、等比数列的通项公式与前n项和公式、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．