Question

9．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，满足a_n=$\frac{{S}_{n}}{n}$+2n-2，n∈N^*，且S₂=6．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）证明：$\frac{1}{{S}_{1}}$+$\frac{1}{{S}_{2}}$+$\frac{1}{{S}_{3}}$+…+$\frac{1}{{S}_{n}}$＜$\frac{5}{3}$．

Answer 1

分析 （1）利用递推关系、等差数列的通项公式即可得出；
（2）S_n=$\frac{n（1+4n-3）}{2}$=n（2n-1）．n≥3，$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{1}{n（2n-1）}$$\frac{2}{2n（2n-1）}$＜$\frac{1}{2n-3}$-$\frac{1}{2n-1}$．利用“裂项求和”即可得出．

解答 （1）解：∵a_n=$\frac{{S}_{n}}{n}$+2n-2，n∈N^*，且S₂=6．
∴a₂=$\frac{6}{2}$+2×2-2=5，a₁+a₂=6，
解得a₁=1．
又na_n=S_n+2n²-2n，
当n≥2时，（n-1）a_n-1=S_n-1+2（n-1）²-2（n-1），
相减可得：na_n-（n-1）a_n-1=a_n+4n-4，
化为a_n-a_n-1=4，
∴数列{a_n}是等差数列，首项为1，公差为4．
∴a_n=1+4（n-1）=4n-3．
（2）证明：S_n=$\frac{n（1+4n-3）}{2}$=n（2n-1）．
∴n≥3，$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{1}{n（2n-1）}$$\frac{2}{2n（2n-1）}$＜$\frac{1}{2n-3}$-$\frac{1}{2n-1}$．
∴$\frac{1}{{S}_{1}}$+$\frac{1}{{S}_{2}}$+$\frac{1}{{S}_{3}}$+…+$\frac{1}{{S}_{n}}$＜1+$\frac{1}{3}$+$（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+$（\frac{1}{5}-\frac{1}{7}）$+…+$（\frac{1}{2n-3}-\frac{1}{2n-1}）$=$\frac{5}{3}$-$\frac{1}{2n-1}$＜$\frac{5}{3}$．
∴$\frac{1}{{S}_{1}}$+$\frac{1}{{S}_{2}}$+$\frac{1}{{S}_{3}}$+…+$\frac{1}{{S}_{n}}$＜$\frac{5}{3}$．

点评 本题考查了递推关系、等差数列的通项公式、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．