Question

20．定义R在上的单调函数f（x）满足f（3）=log₂3，且对任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），
（1）求f（0）；                
（2）求证：f（x）为奇函数；
（3）若f（k•3^x）+f（3^x-9^x）＜0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）令x=y=0，列方程解出f（0）；
（2）令y=-x，得f（x）+f（-x）=f（0）=0，得到结论；
（3）根据函数的奇偶性和单调性得f（k•3^x）＜-f（3^x-9^x）=f（9^x-3^x），于是k•3^x＜-3^x+9^x，分离参数得k＜-1+3^x，于是k小于-1+3^x的最小值．

解答 解：（1）令x=y=0，则f（0）=f（0）+f（0），∴f（0）=0．
（2）证明：令y=-x，则有f（x-x）=f（x）+f（-x），即f（x）+f（-x）=0；
∴f（x）=-f（x）
∴f（x）为奇函数．
（3）∵函数f（x）在R在上的单调函数，f（0）=0，f（3）=log₂3＞0，
∴函数f（x）在R上为单调增函数．
∵f（k•3^x）+f（3^x-9^x）＜0，∴f（k•3^x）＜-f（3^x-9^x）=f（9^x-3^x），
∴k•3^x＜-3^x+9^x，k＜-1+3^x
∵-1+3^x＞-1，∴k≤-1．
∴实数k的取值范围是（-∞，-1]．

点评 本题考查了抽象函数求值，函数奇偶性的证明，单调性的应用，合理选择x，y的值是证明关键，属于中档题．