Question

10．△ABC的三个内角A，B，C，若$\frac{\sqrt{3}cosA+sinA}{\sqrt{3}sinA-cosA}$=tan（-$\frac{7}{12}$π），则2cosB+sin2C的最大值为$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 由条件利用两角和差的正切公式，诱导公式，求得 A=$\frac{π}{4}$．余弦函数的值域，二次函数的性质求得2cosB+sin2C 的最大值．

解答 解：△ABC的三个内角A，B，C，若$\frac{\sqrt{3}cosA+sinA}{\sqrt{3}sinA-cosA}$=tan（-$\frac{7}{12}$π），
则 $\frac{\sqrt{3}+tanA}{\sqrt{3}tanA-1}$=-tan（A+$\frac{π}{3}$）=tan（-$\frac{7}{12}$π）=-tan$\frac{7}{12}$π，
∴A+$\frac{π}{3}$=kπ+$\frac{7π}{12}$，∴A=kπ+$\frac{π}{4}$，k∈Z，∴A=$\frac{π}{4}$．
则2cosB+sin2C=2cosB+sin2[π-（A+B）]=2cosB+sin2[π-（$\frac{π}{4}$+B）]=2cosB+sin（$\frac{3π}{2}$-2B）
2cosB-cos2B=2cosB-（2cos²B-1）=-2cos²B+2cosB+1=-2${（cosB-\frac{1}{2}）}^{2}$+$\frac{3}{2}$，
由于B∈（0，$\frac{3π}{4}$），cosB∈（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1），故当cosB=$\frac{1}{2}$时，2cosB+sin2C取得最大为$\frac{3}{2}$，
故答案为：$\frac{3}{2}$．

点评 本题主要考查两角和差的正切公式，诱导公式，余弦函数的值域，二次函数的性质，属于中档题．