Question

8．已知函数f（x）=asinx+bcosx，其中a∈R，b∈R，如果对任意x∈R，都有f（x）≠2，那么在不等式①-4＜a+b＜4；②-4＜a-b＜4；③a²+b²＜2；④a²+b²＜4中，一定成立的不等式的序号是（　　）

• A． ①
• B． ②
• C． ③
• D． ④

Answer 1

分析 需要分类讨论，当a=0时，和当a≠0时，函数f（x）=asinx+bcosx=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$sin（x+θ），其中tanθ=$\frac{b}{a}$，然后比较计算即可．

解答 解：当a=0时，f（x）=bcosx，
∵x∈R，都有f（x）≠2，
∴|b|＜2，
∴-2＜a+b＜2，-2＜a-b＜2，a²+b²＜4，
当a≠0时，函数f（x）=asinx+bcosx=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$sin（x+θ），其中tanθ=$\frac{b}{a}$，
∵x∈R，都有f（x）≠2，
∴$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$＜2，即a²+b²＜4，
综上所示，只有④一定成立，
故选：D．

点评 本题考查了三角函数辅助角问题，关键是构造辅助角，属于基础题．