Question

13．在△ABC中，D为AB的一个三等分点，AB=3AD，AC=AD，CB=3CD，则cosB=$\frac{7\sqrt{6}}{18}$．

Answer 1

分析 令AC=AD=1，CD=m＞0，可求AB=3，BC=3m，利用余弦定理可得关于cosA的等式，解得m的值，利用余弦定理即可求cosB的值．

解答 解：令AC=AD=1，CD=m＞0，
则：AB=3，BC=3m，
则利用余弦定理可得：$cosA=\frac{{{1^2}+{1^2}-{m^2}}}{2×1×1}=\frac{{{3^2}+{1^2}-9{m^2}}}{2×3×1}⇒m=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$．
∴$cosB=\frac{{{3^2}+9{m^2}-{1^2}}}{2×3×3m}=\frac{8+6}{{6\sqrt{6}}}=\frac{{14\sqrt{6}}}{36}=\frac{{7\sqrt{6}}}{18}$．
故答案为：$\frac{7\sqrt{6}}{18}$．

点评 本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，数形结合思想，属于中档题．