Question

4．已知各项均不为零的数列{a_n}满足a₁=a（a＞0），当n≥2时，a_n，0，S_n•S_n-1成等差数列，其中S_n为数列{a_n}前n项和．
（1）用a表示a₂，a₃；
（2）求数列{a_n}的通项公式（用a表示）；
（3）{a_n}中是否存在连续的三项a_k-1，a_k，a_k+1为等差数列？若存在，求出k及对应的a的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）当n≥2时，a_n，0，S_n•S_n-1成等差数列，可得a_n+S_n•S_n-1=0，即可得出．
（2）n≥2时，S_n-S_n-1+S_nS_n-1=0，可得$\frac{1}{{S}_{n}}$-$\frac{1}{{S}_{n-1}}$=1，利用等差数列的通项公式可得S_n．再利用递推关系即可得出．
（3）n≥2时，假设存在存在连续的三项a_k-1，a_k，a_k+1为等差数列，则2a_k=a_k-1+a_k+1，化简即可判断出；当n=1时，若a₁，a₂，a₃成等差数列，则a-$\frac{{a}^{2}}{（a+1）（2a+1）}$=-$\frac{2{a}^{2}}{a+1}$，解出a即可判断出结论．

解答 解：（1）当n≥2时，a_n，0，S_n•S_n-1成等差数列，
∴a_n+S_n•S_n-1=0，
∴a₂+（a₁+a₂）•a₁=0，
又a₁=a（a＞0），∴a₂=-$\frac{{a}^{2}}{a+1}$．
同理可得：a₃=-$\frac{{a}^{2}}{（a+1）（2a+1）}$．
（2）n≥2时，S_n-S_n-1+S_nS_n-1=0，
可得$\frac{1}{{S}_{n}}$-$\frac{1}{{S}_{n-1}}$=1，
即数列$\{\frac{1}{{S}_{n}}\}$是公差为1的等差数列，又$\frac{1}{{S}_{1}}$=$\frac{1}{a}$，
∴$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{1}{a}$+（n-1），
∴S_n=$\frac{1}{\frac{1}{a}+（n-1）}$，
∴a_n=S_n-S_n-1=$\frac{1}{\frac{1}{a}+（n-1）}$-$\frac{1}{\frac{1}{a}+n-2}$=$\frac{{a}^{2}}{[（n-1）a+1][（n-2）a+1]}$，
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{a，n=1}\\{-\frac{{a}^{2}}{[（n-1）a+1][（n-2）a+1]}，n≥2}\end{array}\right.$．
（3）n≥2时，假设存在存在连续的三项a_k-1，a_k，a_k+1为等差数列，
则2a_k=a_k-1+a_k+1，
化为（n-2）a+1=（n+1）a+1，显然不成立；
当n=1时，若a₁，a₂，a₃成等差数列，
则a-$\frac{{a}^{2}}{（a+1）（2a+1）}$=-$\frac{2{a}^{2}}{a+1}$，
化简可得6a²+4a+1=0，
又∵△=16-4×6=-8＜0，所以方程无解，
即不存在a使得a₁，a₂，a₃成等差数列．
综上，不存在这样的连续三项为等差数列．

点评 本题考查了递推关系、等差数列的通项公式及其前n项和公式，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．