Question

13．函数f（x）=$\frac{9{x}^{2}+x+134}{3{x}^{2}+x+44}$（x∈（3，7））的值域为[$\frac{91}{32}$，$\frac{109}{37}$）．

Answer 1

分析 先求出函数的导数，得到f（x）的单调性，从而求出函数的值域．

解答 解：f′（x）=$\frac{{6x}^{2}-12x-90}{{（{3x}^{2}+x+44）}^{2}}$，
令g（x）=6x²-12x-90=6（x²-2x-15）=6[（x-1）²-16]，
∴g（x）在x∈（3，7））递增，
令g（x）=0，得x=5，
故g（x）在（3，5）为负数，在（5，7）为正数，
即函数f（x）在（3，5）递减，在（5，7）递增，
∴f（x）_min=f（5）=$\frac{91}{32}$，
而f（3）=$\frac{109}{37}$≈2.95，f（7）=$\frac{291}{99}$≈2.94，
故答案为：[$\frac{91}{32}$，$\frac{109}{37}$）．

点评 本题考察了求函数的值域问题，考察函数的单调性问题，是一道基础题．