Question

18．已知函数$f（x）=a{x^2}-2ax+a+\frac{1}{3}$（a＞0），$g（x）=b{x^3}-2b{x^2}+bx-\frac{4}{27}$（b＞1），则函数y=g（f（x））的零点个数为4．

Answer 1

分析 先求出函数y=g（f（x））的导数，由y′=0，得到函数y=g（f（x））有三个极值点，从而能求出函数y=g（f（x））的零点个数．

解答 解：∵$f（x）=a{x^2}-2ax+a+\frac{1}{3}$（a＞0），$g（x）=b{x^3}-2b{x^2}+bx-\frac{4}{27}$（b＞1），
∴y=g（f（x））=b（$a{x}^{2}-2ax+a+\frac{1}{3}$）³-2b（$a{x}^{2}-2ax+a+\frac{1}{3}$）²+b（$a{x}^{2}-2ax+a+\frac{1}{3}$）-$\frac{4}{27}$，
∴y′=3b（ax²-2ax+a+$\frac{1}{3}$）²（2ax-2a）-4b（$a{x}^{2}-2ax+a+\frac{1}{3}$）（2ax-2a）+b（2ax-2a），
由y′=0，得x₁=1，x₂=1-$\frac{\sqrt{6a}}{3a}$，${x}_{3}=1+\frac{\sqrt{6a}}{3a}$，
∴函数y=g（f（x））的零点个数为4个．
故答案为：4．

点评 本题考查函数的零点个数的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．