Question

7．设S_n是等比数列{a_n}的前n项和，a₁=1，且3，2+2a₂，S₃成等差数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令b_n=log₃a_n+1，求$\frac{1}{{b}_{1}{b}_{2}}$+$\frac{1}{{b}_{2}{b}_{3}}$+…+$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$．

Answer 1

分析 （1）设等比数列{a_n}的公比为q，运用等差数列的中项的性质和等比数列的通项公式，解方程即可得到所求通项；
（2）求得b_n=log₃a_n+1=log₃3ⁿ=n，$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$，再由裂项相消求和即可得到所求和．

解答 解：（1）设等比数列{a_n}的公比为q，
由a₁=1，且3，2+2a₂，S₃成等差数列，
可得3+S₃=4+4a₂，
即有3+1+q+q²=4+4q，
解得q=3（0舍去），
则a_n=a₁q^n-1=3^n-1；
（2）b_n=log₃a_n+1=log₃3ⁿ=n，
则$\frac{1}{{b}_{1}{b}_{2}}$+$\frac{1}{{b}_{2}{b}_{3}}$+…+$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$=$\frac{1}{1•2}$+$\frac{1}{2•3}$+…+$\frac{1}{n（n+1）}$
=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$．

点评 本题考查等差数列的中项的性质和等比数列的通项公式的运用，考查数列的求和方法：裂项相消求和，属于中档题．