Question

19．若数列{a_n}满足a₁=1，a_n-1+a_n=$\frac{{a}_{n}{a}_{n-1}}{（{n}^{2}-n）（-1）^{n}}$（n∈N，且n≥2），则数列{$\frac{{a}_{n+1}}{（2n+1）（2n+3）}$}的前6项和为-$\frac{2}{15}$．

Answer 1

分析 由条件可得$\frac{1}{{a}_{n}}$+$\frac{1}{{a}_{n-1}}$=$\frac{1}{n（n-1）•（-1）^{n}}$，令n=2，解得a₂=-2；同理可得a₃=3，a₄=-4，a₅=5，a₆=-6，a₇=7，分别代入所求数列的通项，由裂项相消求和即可得到所求值．

解答 解：a₁=1，a_n-1+a_n=$\frac{{a}_{n}{a}_{n-1}}{（{n}^{2}-n）（-1）^{n}}$（n∈N，且n≥2），
可得$\frac{1}{{a}_{n}}$+$\frac{1}{{a}_{n-1}}$=$\frac{1}{n（n-1）•（-1）^{n}}$，
令n=2，可得$\frac{1}{{a}_{2}}$+1=$\frac{1}{2}$，解得a₂=-2；
同理可得a₃=3，a₄=-4，a₅=5，a₆=-6，a₇=7，
则数列{$\frac{{a}_{n+1}}{（2n+1）（2n+3）}$}的前6项和为
$\frac{{a}_{2}}{3•5}$+$\frac{{a}_{3}}{5•7}$+$\frac{{a}_{4}}{7•9}$+$\frac{{a}_{5}}{9•11}$+$\frac{{a}_{6}}{11•13}$+$\frac{{a}_{7}}{13•15}$
=-2（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$）+3（$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{7}$）-4（$\frac{1}{7}$-$\frac{1}{9}$）+5（$\frac{1}{9}$-$\frac{1}{11}$）-6（$\frac{1}{11}$-$\frac{1}{13}$）+7（$\frac{1}{13}$-$\frac{1}{15}$）
=-$\frac{2}{3}$+1-1+1-1+1-$\frac{7}{15}$=-$\frac{2}{15}$．
故答案为：-$\frac{2}{15}$．

点评 本题考查数列的求和，注意运用裂项相消求和，考查运算能力，属于中档题．