Question

4．设f（x）为一多项式，若（x+1）f（x）除以x²+x+1的余式为5x+3，则f（x）除以x²+x+1的余式为2x+5．

Answer 1

分析 根据多项式的余式定理，设f（x）=（x²+x+1）×q（x）+r（x），由题意得到（x²+x+1）|[r（x）（x+1）-5x-3]，设r（x）=ax+b，求出a，b的值即可．

解答 解：设f（x）=（x²+x+1）×q（x）+r（x），
则（x+1）f（x））=[（x²+x+1）×q（x）+r（x）]]（x+1）=（x²+x+1）×g（x）+5x+3，
所以（x²+x+1）|[r（x）（x+1）-5x-3]．
设r（x）=ax+b，
则（x²+x+1）|[ax²+（a+b-5）x+b-3]，
所以a=a+b-5=b-3，解得a=2，b=5，
所以余式为2x+5，
故答案为：2x+5．

点评 本题考查了多项式的余式定理，整系数多项式f（x）除以（x-a）商为q（x），余式为r，则f（x）=（x-a）q（x）+r．属于中档题．