Question

6．已知函数$f（x）=\frac{x}{{{x^2}+1}}$，关于f（x）的性质，有以下四个推断：
①f（x）的定义域是（-∞，+∞）；       ②f（x）的值域是$[-\frac{1}{2}，\;\frac{1}{2}]$；
③f（x）是奇函数；                   ④f（x）是区间（0，2）上的增函数．
其中推断正确的个数是（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 根据f（x）的表达式求出其定义域，判断①正确；根据基本不等式的性质求出f（x）的值域，判断②正确；根据奇偶性的定义，判断③正确；根据函数的单调性，判断④错误．

解答 解：①∵函数$f（x）=\frac{x}{{{x^2}+1}}$，
∴f（x）的定义域是（-∞，+∞），
故①正确；       
②f（x）=$\frac{1}{x+\frac{1}{x}}$，
x＞0时：f（x）≤$\frac{1}{2}$，
x＜0时：f（x）≥-$\frac{1}{2}$，
故f（x）的值域是$[-\frac{1}{2}，\;\frac{1}{2}]$，
故②正确；
③f（-x）=-f（x），f（x）是奇函数，
故③正确；
④由f′（x）=$\frac{1{-x}^{2}}{{{（x}^{2}+1）}^{2}}$，
令f′（x）＞0，解得：-1＜x＜1，
令f′（x）＜0，解得：x＞1或x＜-1，
∴f（x）在区间（0，2）上先增后减，
故④错误；
故选：C．

点评 本题考察了函数的定义域、值域问题，考察函数的奇偶性和单调性，是一道中档题．