Question

11．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知$\frac{2a+b}{c}$=$\frac{cos（π-B）}{cosC}$．
（1）求角C的大小；
（2）若c=2，且ab=$\frac{4}{3}$，求证：sinA=sinB．

Answer 1

分析 （1）利用诱导公式及正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知可得：sinA（2cosC+1）=0，由sinA≠0，可得cosC=-$\frac{1}{2}$，结合范围C∈（0，π），即可解得C的值．
（2）由余弦定理可得：4=a²+b²+ab=（a-b）²+4，解得a=b，由正弦定理即可得解sinA=sinB．

解答 （本题满分为10分）
解：（1）∵$\frac{2a+b}{c}$=$\frac{cos（π-B）}{cosC}$．
∴利用诱导公式及正弦定理可得：$\frac{2sinA+sinB}{sinC}$=$\frac{-cosB}{cosC}$，
∴2sinAcosC+sinBcosC+sinCcosB=0，即：2sinAcosC+sinA=0，整理可得：sinA（2cosC+1）=0，
∵sinA≠0，可得：cosC=-$\frac{1}{2}$，
∴由C∈（0，π），可得：C=$\frac{2π}{3}$…5分
（2）证明：∵C=$\frac{2π}{3}$，c=2，且ab=$\frac{4}{3}$，
∴由余弦定理：c²=a²+b²-2abcosC可得：4=a²+b²+ab=（a-b）²+3ab=（a-b）²+4，
∴解得：（a-b）²=0，解得：a=b，
∴由正弦定理可得：sinA=sinB．…10分

点评 本题主要考查了诱导公式，正弦定理，两角和的正弦函数公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．