Question

6．一个袋中有若干个大小相同的黑球、白球和红球．已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是$\frac{2}{5}$；从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是$\frac{7}{9}$．
（Ⅰ）若袋中共有10个球，
（i）求白球的个数；
（ii）从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为ξ，求随机变量ξ的数学期望Eξ．
（Ⅱ）求证：从袋中任意摸出2个球，至少得到1个黑球的概率不大于$\frac{7}{10}$．并指出袋中哪种颜色的球个数最少．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设袋中白球个数为x，由对立事件概率计算公式得：1-$\frac{{C}_{10-x}^{2}}{{C}_{10}^{2}}$=$\frac{7}{9}$，由此能求出白球个数．
（ii）随机变量ξ的取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量ξ的数学期望Eξ
（Ⅱ）设袋中有n个球，其中y个黑球，由题意，得y=$\frac{2}{5}$n，从而2y＜n，2y≤n-1，进而$\frac{y}{n-1}≤\frac{1}{2}$，由此能证明从袋中任意摸出2个球，至少得到1个黑球的概率不大于$\frac{7}{10}$．并得到袋中哪种颜色的球个数最少．

解答 解：（Ⅰ）（i）记“从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球”为事件A，
设袋中白球个数为x，则P（A）=1-$\frac{{C}_{10-x}^{2}}{{C}_{10}^{2}}$=$\frac{7}{9}$，
解得x=5，∴白球个数是5个．
（ii）随机变量ξ的取值为0，1，2，3，
P（ξ=0）=$\frac{{C}_{5}^{3}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{10}{120}$=$\frac{1}{12}$，
P（ξ=1）=$\frac{{C}_{5}^{1}{C}_{5}^{2}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{50}{120}=\frac{5}{12}$，
P（ξ=2）=$\frac{{C}_{5}^{2}{C}_{5}^{1}}{{C}_{10}^{3}}=\frac{50}{120}=\frac{5}{12}$，
P（ξ=3）=$\frac{{C}_{5}^{3}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{10}{120}=\frac{1}{12}$，
∴ξ的分布列为：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{1}{12}$	$\frac{5}{12}$	$\frac{5}{12}$	$\frac{1}{12}$

Eξ=$\frac{1}{12}×0+\frac{5}{12}×1+\frac{5}{12}×2+\frac{1}{12}×3$=$\frac{3}{2}$．
证明：（Ⅱ）设袋中有n个球，其中y个黑球，
由题意，得y=$\frac{2}{5}$n，
∴2y＜n，2y≤n-1，
∴$\frac{y}{n-1}≤\frac{1}{2}$，
记“从袋中任意取出两个球，至少有1个黑球”为事件B，
则P（B）=$\frac{2}{5}+\frac{3}{5}×\frac{y}{n-1}≤\frac{2}{5}+\frac{3}{5}×\frac{1}{2}=\frac{7}{10}$，
∴白球的个数比黑球多，白球个数多于$\frac{2}{5}n$，黑球个数少于$\frac{2}{5}n$，
故袋中红球个数最少．

点评 本题考查排列组合、对立事件、相互独立事件的概率和随机变量分布列和数学期望等概念，同时考查学生的逻辑思维能力和分析问题及解决问题的能力．