Question

17．已知抛物线C：y²=4x的焦点为F，过点M（-1，0）且斜率为k的直线l与抛物线C相交于不同的两点A、B，设直线FA，FB的斜率分别为k₁，k₂，且（k₁-1）（k₂-1）＜0．
（1）求k的取值范围；
（2）设点A关于x轴的对称点为N，求△MNB面积的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设过点M（-1，0）的直线L：x=my-1，代入抛物线方程整理得y²-4my+4=0，利用直线FA，FB的斜率分别为k₁，k₂，且（k₁-1）（k₂-1）＜0，求出m的范围，即可求k的取值范围；
（2）设点A关于x轴的对称点为N，证明点F在直线BD上，即可求△MNB面积的取值范围．

解答 解：（1）抛物线C：y²=4x①的焦点为F（1，0），
设过点M（-1，0）的直线L：x=my-1，
代入①，整理得y²-4my+4=0，
设L与C 的交点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则y₁+y₂=4m，y₁y₂=4，△=16m²-16＞0，
∴|m|＞1
∵直线FA，FB的斜率分别为k₁，k₂，且（k₁-1）（k₂-1）＜0，
∴（$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-1}$-1）（$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-1}$-1）＜0，
∴（1-m）²y₁y₂+2（1-m）（y₁+y₂）+4＜0，
∴4（1-m）²+8m（1-m）+4＜0，
∴m＜-$\sqrt{2}$或m＞$\sqrt{2}$，
∴-$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜k＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$且k≠0；
（2）点A关于x轴的对称点N为（x₁，-y₁）．设D（x₂，y₂），
BD的斜率k₁=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=$\frac{4}{{y}_{2}-{y}_{1}}$，
BF的斜率k₂=$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-1}$．
要使点F在直线BD上，需k₁=k₂
需4（x₂-1）=y₂（y₂-y₁），
需4x₂=y₂²，
上式成立，∴k₁=k₂，
∴点F在直线BD上．
∴△MNB面积S=$\frac{1}{2}×2×$|y₂+y₁|=|4m|＞4$\sqrt{2}$．

点评 本题考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．