Question

8．已知向量$\overrightarrow{{e}_{1}}$=（1，0），$\overrightarrow{{e}_{2}}$=（0，1），动点P从点P₀（-1，2）开始沿着与向量$\overrightarrow{{e}_{1}}$+$\overrightarrow{{e}_{2}}$相同的方向做匀速直线运动，速度大小为|$\overrightarrow{{e}_{1}}$+$\overrightarrow{{e}_{2}}$|；另一动点Q从点Q₀（-2，-1）开始沿着与向量3$\overrightarrow{{e}_{1}}$+2$\overrightarrow{{e}_{2}}$相同的方向做匀速直线运动，速度大小为|3$\overrightarrow{{e}_{1}}$+2$\overrightarrow{{e}_{2}}$|，设P、Q在t=0秒时刻分别在P₀、Q₀处．
（1）经过多长时间|PQ|最小？求出最小值；
（2）经过多长时间后$\overrightarrow{PQ}$⊥$\overrightarrow{{P}_{0}{Q}_{0}}$，求出t值．

Answer 1

分析 （1）设经过t秒后P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．则$\overrightarrow{{P}_{0}P}$=t（$\overrightarrow{{e}_{1}}+\overrightarrow{{e}_{2}}$）.$\overrightarrow{{Q}_{0}Q}$=t（$3\overrightarrow{{e}_{1}}+2\overrightarrow{{e}_{2}}$），求出P，Q的坐标，代入距离公式求出最小值；
（2）令$\overrightarrow{PQ}$•$\overrightarrow{{P}_{0}{Q}_{0}}$=0列方程解出t．

解答 解：（1）$\overrightarrow{{e}_{1}}+\overrightarrow{{e}_{2}}$=（1，1），3$\overrightarrow{{e}_{1}}$+2$\overrightarrow{{e}_{2}}$=（3，2），
设经过t秒后P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．则$\overrightarrow{{P}_{0}P}$=（x₁+1，y₁-2）=t（$\overrightarrow{{e}_{1}}+\overrightarrow{{e}_{2}}$）=（t，t）.$\overrightarrow{{Q}_{0}Q}$=（x₂+2，y₂+1）=t（$3\overrightarrow{{e}_{1}}+2\overrightarrow{{e}_{2}}$）=（3t，2t）．
∴x₁=t-1，y₁=t+2，x₂=3t-2，y₂=2t-1．∴$\overrightarrow{PQ}$=（2t-1，t-3）．
∴|$\overrightarrow{PQ}$|²=（2t-1）²+（t-3）²=5t²-10t+10=5（t-1）²+5．
∴当t=1时|$\overrightarrow{PQ}$|²取得最小值5．即|PQ|的最小值为$\sqrt{5}$．
∴出发1秒后|PQ|最小，最小值是$\sqrt{5}$．
（2）$\overrightarrow{{P}_{0}{Q}_{0}}$=（-1，-3），$\overrightarrow{PQ}$•$\overrightarrow{{P}_{0}{Q}_{0}}$=1-2t-3（t-3）=-5t+10．
设t秒后$\overrightarrow{PQ}$⊥$\overrightarrow{{P}_{0}{Q}_{0}}$，则$\overrightarrow{PQ}$•$\overrightarrow{{P}_{0}{Q}_{0}}$=0，∴-5t+10=0，解得t=2．
∴出发2秒后$\overrightarrow{PQ}$⊥$\overrightarrow{{P}_{0}{Q}_{0}}$．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算，二次函数的最值，属于中档题．