Question

20．在△ABC中，2asinB=b，$\frac{1}{2}$sinB=cos²$\frac{C}{2}$，又BC边上的中线AM长为$\sqrt{7}$，则△ABC的面积等于$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由2asinB=b，利用正弦定理可得sinA=$\frac{1}{2}$，由$\frac{1}{2}$sinB=cos²$\frac{C}{2}$，可得：sinB=1+cosC≤1，可解得：A=$\frac{π}{6}$，B+C=$\frac{5π}{6}$．进而可求得：sin（B+$\frac{π}{3}$）=1，结合范围B∈（0，$\frac{5π}{6}$）可求B，C的值，设AC=2x，则CM=x．由余弦定理可得CM的值，利用三角形面积公式即可得解．

解答 解：∵2asinB=b，由正弦定理可得：2sinAsinB=sinB，sinB≠0，
∴解得：sinA=$\frac{1}{2}$，
∵$\frac{1}{2}$sinB=cos²$\frac{C}{2}$=$\frac{1+cosC}{2}$，可得：sinB=1+cosC≤1，可得：cosC≤0，C为直角或钝角，
∴A，B为锐角，解得：A=$\frac{π}{6}$，B+C=$\frac{5π}{6}$．
∴sinB=1+cosC=1+cos（$\frac{5π}{6}$-B）=1-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosB+$\frac{1}{2}$sinB，整理可得：sin（B+$\frac{π}{3}$）=1，
∵B∈（0，$\frac{5π}{6}$），∴（B+$\frac{π}{3}$）∈（$\frac{π}{3}$，$\frac{7π}{6}$），
∴B+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$，∴B=$\frac{π}{6}$．
∴C=π-A-B=$\frac{2π}{3}$．
如图所示，设AC=2x，则CM=x．
在△ACM中，由余弦定理可得：AM²=AC²+CM²-2AC•CM•cosC，
∴7=4x²+x²-4x2cos$\frac{2π}{3}$，化为x²=1，解得x=1．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC2sin$\frac{2π}{3}$=$\frac{1}{2}$×4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$．
故答案为：$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了正弦定理、余弦定理的应用、两角和差的正弦公式、倍角公式、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．